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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2019/2020 III Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 8 settembre 2020 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. SCRIVERE NELL’ORDINECODICE PERSONA, COGNOME, NOME E LE DATE PREFERITE PER L’ESAME ORALE SUL FOGLIO CHE CONSEGNERETE Esercizio 1. Sia (Xn)n≥1 una successione di v.a. i.i.d. con legge di Cauchy, caratterizzata dalla sua funzione caratteristicaϕ(u) = e−|u|, u∈ R. Si considerino le seguenti successioni: X n = 1 n n∑ k=1 Xk, Un = 1√n n∑ k=1 Xk, Vn = 1 n2 n∑ k=1 Xk. 1. Trovare la funzione caratteristica diX n e riconoscere le legge corrispondente. 2. Studiare la convergenza in legge diX n per n→∞ . 3. Studiare la convergenza in legge diUn per n→∞ . 4. Studiare la convergenza in legge diVn per n→∞ . 5. Mostrare cheVn converge in probabilità ad una costante, determinarla, e calcolarne la velocitá di convergenza. 1 Risultati. 1. ϕX n =ϕ, per ognin, quindiX n∼ Cauchy. 2. X n−→X1 per il teorema di Levy, grazie al punto precedente. 3. Un non ammette limite in legge. Infatti, se per assurdoUn−→U∞, allora Slutsky implicherebbe X n = 1√nUn−→ 0·U∞ = 0. 4. Dato cheVn = 1 nX n, abbiamo ϕVn (u) = ϕX n (u/n) = e− |u| n → 1, ∀u∈ R ovveroVn−→ 0 in legge. 5. Vn−→ 0 in probabilità perché ammette tale limite in legge e perché 0 è una costante. Grazie al p.to 2 abbiamo n· (Vn− 0) = X n→X1̸= 0 da cui si deduce che la velocità di convergenza diVn a 0 valen. 2 Esercizio 2. John e Robin partecipano a una gara di tiro con l’arco dove il punteggio di ogni tiro varia fra 0 (bersaglio mancato) e 30 (bersaglio colpito esattamente sul bordo). Più precisamente, misurando le distanze in cm, il bersaglio ha raggio 30 e, dettaD la distanza del punto…