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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2020/2021 II Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 12 luglio 2021 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Scrivere CODICE PERSONA, COGNOME, NOME sul foglio che consegnerete Esercizio 1. Andrea e Bruno giocano con due monete, entrambe truccate. Chiamiamo rispettivamente pA e pB le probabilità che diano testa. A ogni turno Andrea e Bruno lanciano ciascuno la propria moneta, e ciascuno continuerà fino a quando non otterrà la prima testa con la propria moneta. Il gioco terminerà quindi quando saranno arrivate entrambe le teste, ma il vincitore sarà decretato già alla prima testa: si concluderà in pareggio se le teste arriveranno allo stesso turno, mentre in caso contrario vincerà il primo che avrà ottenuto testa. Siano X = numero di lanci fatti da Andrea, Y = numero di lanci fatti da Bruno, S = numero di turni per decretare l’esito del gioco, T = numero di turni di gioco. 1. Determinare la legge congiunta e le leggi marginali diX ed Y. 2. ScrivereS in funzione diX ed Y e determinarne la legge. 3. Scrivere ancheT in funzione diX ed Y e determinare la legge congiunta diS e T. 4. Calcolare la probabilità di un pareggio. 5. Calcolare le probabilità di vittoria di ciascuno. 6. Se pA = 1−pB, per qualipA Andrea vince con una probabilità almeno del 50%? Può essere utile ricordare che, se|q|< 1, allora +∞∑ n=k qn = qk 1−q. 1 Risultati. 1. X∼G(pA) e Y ∼G(pB). X e Y sono ovviamente indipendenti; postoqA = 1−pA e qB = 1−pB, si ha P(X =i,Y =j) = pApBqi−1 A qj−1 B , ∀(i,j )∈{ 1, 2, 3,... }2. 2. S = min{X,Y} per cuiS∼G(1−qAqB) essendo il minimo di due geometriche indipendenti. 3. T = max{X,Y} per cui, considerandoi,j ∈ N, abbiamo P(S…