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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2021/2022 II Prov a in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica - 14 giugno 2022 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. CODICE PERSONA, COGNOME, NOME: Esercizio 1. Data una successione Xn, n ∈ N, di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con legge N (µ, σ2), dove µ ∈ R e σ > 0, consideriamone le realitive successioni di medie e varianze campionarie: X n := 1 n nX k=1 Xk , S 2 n := 1 n − 1 nX k=1 (Xk − X n)2 , n ≥ 2. 1. Determinare media, varianza e funzione caratteristica diS2 n. Consideriamo adesso la successione di variabili aleatorie Wn = √n  S2 n − σ2  , n ≥ 2. 2. Determinare media, varianza e funzione caratteristica diWn. 3. Determinare P(Wn > 0), la probabilità cheWn sia positiva. È sufficiente ricondurre tale probabilità ai valori di una qualcheFk, funzione di ripartizione di una Chi-quadro di parametrok. 4. Studiare la convergenza in legge diWn. 5. Calcolare limn→∞ P(Wn > 0). 1 Risultati. 1. Sapendo che perY ∼ χ2(k) vale E[Y ] = k, Var(Y ) = 2 k, φ Y (u) = 1 (1 − 2i u) k 2 , e che, per un campione casuale gaussiano,S2 n ∼ σ2 n − 1 χ2(n − 1), abbiamo subito E[S2 n] = σ2, Var(S2 n) = 2σ4 n − 1 , φ S2n (u) = 1  1 − 2i σ2 n−1 u  n−1 2 . 2. Essendo Wn trasformazione affine diS2 n, abbiamo subito E[Wn] = 0 , Var(Wn) = 2nσ4 n − 1 , φ Wn (u) = exp  −i√nσ2 u  1 − 2i √nσ2 n−1 u  n−1 2 . 3. Detta Fn la funzione di ripartizione di una Chi-quadro adn gradi di libertà, abbiamo P(Wn > 0) = P(S2 n > σ 2) = P  n − 1 σ2 S2 n > n − 1  = 1 − Fn−1(n − 1). 4. Per n → ∞ abbiamo φWn (u) = exp  −i√nσ2 u  1 − 2i √nσ2 n−1 u  n−1 2 = exp  −i√nσ2 u − n − 1 2 Log  1 − 2i √nσ2 n − 1 u  = exp  −i√nσ2 u − n…