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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 22 Giugno 2020 Esercizio 1: La durata, misurata in migliaia di ore, di un componente elettronico, ` e modellabile come una v.a. X la cui densit` a ` e fX(x;λ) = 2λxe−λx2 I(0,+∞))(x), λ> 0. (1) Determinare una statistica S sufficiente minimale e completa per λ. (2) Determinare la legge di S. (3) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆλL di λ. Siamo interessati a stimare la “durata minima” x∗, che viene superata dal 90% dei componenti. (4) Verificare che x∗ = √ − ln 0.9 λ (5) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆx∗ di x∗. (6) Sulla base di ˆx∗, determinare l’UMVUE U per x∗. (7) Un tecnico che ha misurato n = 100 dispositivi ci ha fornito i seguenti valori osservati: x = 1.0364, s 2 = 0.2829 sulla base di queste informazioni, determinare una stima di massima verosimiglianza per λ e per x∗. 1 Esercizio 2: Si estrae un campione di ampiezza n dalla popolazione X avente densit` a f(x;θ) =θex −θex , θ> 0. (1) Determinare una statistica sufficiente e completa S per θ. (2) Determinare la legge di S (suggerimento: determinare innanzitutto la legge di Y = eX). (3) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆθ di θ, determinare inoltre lo stimatore di g(θ) = P (X <0). (4) Determinare l’UMVUE di θ. (5) Determinare la legge asintotica di ˆθ e di g(ˆθ). (6) Sulla base di un campione sufficientemente numeroso, scrivere un intervallo asintotico di confidenza 1 −α per P (X <0). (7) Costruire il test UMP di livello α per H0 :θ ≤θ0 controH1 :θ>θ 0. 2 Domande (1) Dare la definizione di statistica sufficiente per un parametro θ incognito di un modello parametrico. (2) Dare la definizione di famiglia…