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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2021/2022 III Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 31 agosto 2022 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. CODICE PERSONA, COGNOME, NOME: Esercizio 1. Data una variabile aleatoriaW ∼ U([0, 1]), si considerino le variabili aleatorie X = W 2, Y = 1 − W 2. 1. Determinare la legge diX. 2. X è una variabile aleatoria discreta? È continua? È gaussiana? Perché? 3. Determinare media e varianza diX. 4. Determinare la legge diY. 5. Y è una variabile aleatoria discreta? È continua? È gaussiana? Perché? 6. Determinare media e varianza diY. 7. Determinare il coefficiente di correlazione lineare fraX ed Y. 8. Determinare media e varianza di(X, Y ). 9. (X, Y ) è un vettore aleatorio discreto? È continuo? È gaussiano? Perché? 10. Calcolare la probabilità di avere∥(X, Y )∥ ≤ 3/4. 1 Risultati. 1. Determiniamo la legge diX calcolando la sua funzione di ripartizione. FX(t) = P(W 2 ≤ t) =    0, se t ≤ 0,√ t, se 0 ≤ t ≤ 1, 1, se t ≥ 1. Essendo FX continua su R e C1 a tratti, la variabileX è continua con densità fX(t) = F ′ X(t) = 1 2 √ t I(0,1)(t), ovvero X ∼ β(1/2, 1). 2. X non è una variabile aleatoria discreta perchéFX è continua. X è continua come detto sopra. X non è gaussiana perché la sua densità è illimitata superiormente. 3. E[X] = 1 3 , E[X2] = 1 5 , Var(X) = 4 45. 4. Determiniamo la legge diY calcolando la sua funzione di ripartizione. FY (t) = P(1 − W 2 ≤ t) =    0, se t ≤ 0, 1 − √1 − t, se 0 ≤ t ≤ 1, 1, se t ≥ 1. Essendo FY continua su R e C1 a tratti, la variabileY è continua con densità fY (t) = F ′ X(t) = 1 2 √1 − t I(0,1)(t), ovvero Y ∼ β(1, 1/2). 5. Y non è una variabile aleatoria discreta perchéFY è conitnua. Y…