23 09 2022

Document information

University: Politecnico di Milano
Degree programme: Aerospace Engineering
Subject: Fisica delle Onde
Material language: Italian
Classification: Exam · Full exam
Content: Exam paper and solution
Original format: PDF
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Appello 5 - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2021/22 - 23/09/2022 Cognome e Nome: _______________________________________________________________________ Matricola: ______________ Consegna: Campi Onde Dimostrazione Campi (22pt) Una bobina circolare consistente di 𝑵𝑵 avvolgimenti sovrapposti, ciascuno di raggio 𝒂𝒂, è percorsa da una corrente 𝑰𝑰𝒃𝒃 . Sul suo asse, alla distanza 𝒙𝒙𝟎𝟎 dalla bobina è posta una piccola spira di raggio 𝒃𝒃. La spira giace su un piano parallelo al piano della bobina ed è percorsa da una corrente 𝑰𝑰𝟎𝟎𝟎𝟎, con verso di rotazione opposto a quello di 𝑰𝑰𝒃𝒃 . Calcolare: C.1) Il campo magnetico, 𝐵𝐵𝑏𝑏 (𝑥𝑥0 ), generato dalla bobina nel centro della spira. [3pt] C.2) Il coefficiente di mutua induzione, 𝑀𝑀0 , tra i due circuiti (si noti che 𝑏𝑏 ≪ 𝑎𝑎). [5pt] C.3) L’energia di interazione tra bobina e circuito, 𝑈𝑈(𝑥𝑥0 ) [5pt] All'istante 𝑡𝑡 = 0, il generatore sulla bobina viene cortocircuitato. In questo modo la bobina è semplicemente un circuito di resistenza totale 𝑹𝑹 e di coefficiente di autoinduzione trascurabile, calcolare: C.4) il modulo della carica, 𝑞𝑞, che circola sulla bobina se la spira, alimentata con una corrente costante 𝐼𝐼0𝑠𝑠 e con la faccia parallela a quella della bobina, viene spostata dal punto di coordinate 𝑥𝑥0 fino all'origine. [5pt] C.5) il valore massimo della corrente indotta sulla bobina, 𝐼𝐼𝑏𝑏 , se, mantenendo la corrente 𝐼𝐼0𝑠𝑠 costante, la spira viene messa in rotazione attorno ad un suo diametro parallelo all’asse 𝑦𝑦 con velocità angolare 𝝎𝝎 [4pt] DATI : 𝑁𝑁 𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑥𝑥0 𝑏𝑏 𝐼𝐼0𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝜔𝜔 8 10 𝑐𝑐𝑐𝑐 12 𝐴𝐴 25 𝑐𝑐𝑐𝑐 0.25 𝑐𝑐𝑐𝑐 100 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑚𝑚Ω 2𝜋𝜋 × 100 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 Onde (22pt) Due sorgenti puntiformi 𝑆𝑆1 e 𝑆𝑆2 emettono nel…

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Appello 5 - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2021/22 - 23/09/2022 Cognome e Nome: _______________________________________________________________________ Matricola: ______________ Consegna: Campi Onde Dimostrazione Su una navicella, che si allontana dalla terra a velocità 𝛽𝛽, c’è un solenoide con una densità di spire pari ad 𝑛𝑛 ed una intensità di corrente di 𝑖𝑖, il cui asse è allineato alla direzione di spostamento della navicella. R.3) Usando la contrazione delle lunghezze e la dilatazione del tempo, calcolare il campo magnetico generato dal solenoide per un osservatore sulla terra, 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ? [7 pt] considerate approssimazione di solenoide indefinito Una sbarra possiede una lunghezza propria 𝐿𝐿0 e viaggia ad una velocità 𝑢𝑢 rispetto ad un sistema di riferimento 𝑆𝑆, e risulta inclinata di un angolo 𝛼𝛼′ rispetto all’orizzontale nel sistema di riferimento 𝑆𝑆′ comovente alla sbarretta. R.4) Determinare l’angolo di inclinazione 𝛼𝛼 della sbarra per un osservatore posto nel sistema 𝑆𝑆. [7 pt] DATI : 𝐿𝐿 𝑣𝑣 𝛽𝛽 𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝐿𝐿0 𝑢𝑢 𝛼𝛼′ 21.3 𝑎𝑎. 𝑙𝑙. 0.9 𝑐𝑐 0.6 4 2 𝐴𝐴 1.2 𝑚𝑚 0.6 𝑐𝑐 45° 2 × 10 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠/𝑚𝑚 anni-luce 1 𝑎𝑎. 𝑙𝑙. = 1 𝑐𝑐 × 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 Dimostrazione Discutere il processo di interferenza tra due sorgenti coerenti (esperimento di Young) Indicare il risultato numerico corretto, specificando segno ed unità di misura A B C D Unità di misura C.1) 𝐵𝐵𝑏𝑏 (𝑥𝑥0 ) 0 1.5 3.1 6.2 C.2) 𝑀𝑀0 0 1.3 2.6 5.1 C.3) 𝑈𝑈(𝑥𝑥0 ) 0 2.3 6.1 8.4 C.4) 𝑞𝑞 0 1.0 5.2 9.4 C.5) 𝑖𝑖𝑏𝑏 0 3.2 5.2 7.8 O.1) |Δ𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 0 1.0 1.6 5.0 O.2) 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 0 3.7 5.3 7.1 O.3) |Δ𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 0 1.0 1.3 5.0 O.4) 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 0 1.0 2.0 3.0 O.5) 𝐼𝐼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 0 1.7 3.4 6.8 R.1)…

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Appello 5 - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2021/22 - 23/09/2022 Cognome e Nome: _______________________________________________________________________ Matricola: ______________ Consegna: Campi Onde Dimostrazione Soluzioni Campi 𝜇𝜇0 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑁𝑁 𝑎𝑎 2 C.1) La bobina genera in prossimità del suo asse un campo magnetico 𝐵𝐵𝑏𝑏 = ⋅ 3 𝑥𝑥� = 3.09 × 10−5 𝑥𝑥� 𝑇𝑇 dove 𝑥𝑥 2 (𝑎𝑎 2 +𝑥𝑥 2 )2 è la distanza dal centro della bobina misurata lungo l'asse e si è assunto (senza perdere di generalità) che il campo sia orientato parallelamente a 𝑥𝑥�). �⃗𝑠𝑠 = −𝜋𝜋𝑏𝑏 2 𝑥𝑥�. Essendo 𝑏𝑏 ≪ 𝑥𝑥0 si può scrivere: C.2) La superficie orientata definita dalla spira e Σ 𝜇𝜇0 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑁𝑁 𝑎𝑎2 𝜋𝜋𝑏𝑏 2 �⃗𝑏𝑏 ⋅ Σ ΦΣ𝑠𝑠 (𝐵𝐵𝑏𝑏 ) = 𝐵𝐵 �⃗𝑠𝑠 = − ⋅ −10 2 3 = 6.07 × 10 𝑊𝑊𝑊𝑊 2 2 (𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 )2 Da qui: 𝜇𝜇0 𝑁𝑁 𝑎𝑎2 𝜋𝜋𝑏𝑏 2 𝑀𝑀0 = − ⋅ 3 = −5.06 × 10−11 𝐻𝐻 2 (𝑎𝑎2 + 𝑥𝑥 2 )2 ��⃗𝑠𝑠 = −𝐼𝐼0𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑏𝑏 2 𝑥𝑥�, l'energia magnetica di interazione C.3) La spira percorsa da corrente è un dipolo magnetico di momento 𝑚𝑚 �⃗𝑏𝑏 vale tra la spira e il campo 𝐵𝐵 𝜇𝜇0 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑁𝑁 𝑎𝑎2 𝑈𝑈𝑚𝑚 (𝑥𝑥0 ) = − 𝑚𝑚 �⃗𝑏𝑏 = ��⃗𝑠𝑠 ⋅ 𝐵𝐵 ⋅ 2 = 6.07 × 10−11 𝐽𝐽 2 3 ⋅ 𝐼𝐼𝑠𝑠0 𝜋𝜋𝑏𝑏 2 2 (𝑎𝑎 + 𝑥𝑥0 )2 Alla stessa conclusione si poteva giungere esprimendo l’energia di interazione tra i due circuiti come 𝑈𝑈𝑚𝑚 (𝑥𝑥0 ) = 𝑀𝑀0 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑠𝑠0 C.4) La variazione di flusso attraverso la bobina si può calcolare come: 𝜇𝜇0 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑁𝑁 1 1 ΔΦΣ𝑏𝑏 (𝐵𝐵𝑠𝑠 ) = [𝑀𝑀(0) − 𝑀𝑀(𝑥𝑥0 )]𝐼𝐼𝑠𝑠0 = ⋅ 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝜋𝜋 � 3 − 2 � 2 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 + 𝑥𝑥02 )3/2 La carica totale che fluisce attraverso la bobina si ricava dalla legge di Felici: ΔΦΣ𝑏𝑏 (𝐵𝐵𝑠𝑠 ) Δ𝑄𝑄 = = 9.36 × 10−8 𝐶𝐶 𝑅𝑅 C.5) Il campo 𝐵𝐵 �⃗𝑏𝑏 e la normale alla spira non…

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Appello 5 - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2021/22 - 23/09/2022 Cognome e Nome: _______________________________________________________________________ Matricola: ______________ Consegna: Campi Onde Dimostrazione Onde O.1) La differenza di cammino tra le due onde è pari a Δ𝑟𝑟 = 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟2 = (𝑥𝑥𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝑥𝑥2 ) − (𝑥𝑥𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 − 𝑥𝑥2 ) = 2𝑥𝑥2 . La differenza di fase dovuta al solo cammino è quindi 𝛿𝛿Δ𝑟𝑟 = 𝑘𝑘 ⋅ 2𝑥𝑥2 = 5𝜋𝜋. Per avere interferenza costruttiva le onde devono giungere sul ricevitore con differenza di fase 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿Δ𝑟𝑟 ± Δ𝜙𝜙 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚. Il piu’ piccolo valore di |Δ𝜙𝜙| = 𝜋𝜋. 𝑃𝑃 O.2) Le intensità delle onde emesse dalle due sorgenti quando giungono al ricevitore sono 𝐼𝐼1 = = 0.159 𝑊𝑊/𝑚𝑚2 e 𝐼𝐼2 = 4𝜋𝜋𝑟𝑟12 𝑃𝑃 = 0.196 𝑊𝑊/𝑚𝑚2. Le onde sono in fase quindi l’intensita’ totale e’ pari a 𝐼𝐼𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 2�𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 = 0.709 𝑊𝑊/𝑚𝑚2. Si 4𝜋𝜋𝑟𝑟22 𝑃𝑃 poteva calcolare l’intensita’ totale assumendo le due intensita’ 𝐼𝐼1 ≃ 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 = 2 = 0.176 𝑊𝑊/𝑚𝑚2 e quindi 𝐼𝐼𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 4𝐼𝐼𝑚𝑚 = 4𝜋𝜋𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 0.705 𝑊𝑊/𝑚𝑚2 O.3) Essendo 𝛿𝛿Δ𝑟𝑟 = 𝑘𝑘 ⋅ 2𝑥𝑥2 = 5𝜋𝜋, con |Δ𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | = 0 si ha interferenza distruttiva sul rivelatore. O.4) Le differenze di fase dovute ai due cammini sono 𝛿𝛿1 = 𝑘𝑘(𝑥𝑥𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝑥𝑥2 − 𝑠𝑠) + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 e 𝛿𝛿2 = 𝑘𝑘(𝑥𝑥𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 − 𝑥𝑥2 ), la differenza di fase tra le due onde è pari a 𝛿𝛿 ′ = 𝛿𝛿1 − 𝛿𝛿2 = 2𝑘𝑘𝑥𝑥2 + 𝑘𝑘(𝑛𝑛 − 1)𝑠𝑠. Ricordiamo che 2𝑘𝑘𝑥𝑥2 = 5𝜋𝜋 e quindi per avere interferenza 𝜋𝜋 𝜆𝜆 costruttiva \`e necessario che 𝑘𝑘(𝑛𝑛 − 1)𝑠𝑠 = (2𝑚𝑚 + 1)𝜋𝜋. Il minimo valore di 𝑠𝑠 per cui questo succede è 𝑠𝑠 = 𝑘𝑘(𝑛𝑛−1) = 2(𝑛𝑛−1) = 3.08 × 10−2 𝑚𝑚 �⃗𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =…

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