26072017 MMIS

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 26 Luglio 2017 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1,...,X n un campione casuale di ampiezza n di legge gaussiana di media ln θ e varianza 4, con θ un parametro incognito positivo. (a) Posto Un =cn ∑n i=1 eXi, determinare la costante cn in modo che Un sia stimatore non distorto di θ. Suggerimento: usare il fatto che, se Y ∼N(m,σ 2) allora, per t∈ R, E [ etY] = etm+ 1 2t2σ2 . (b) Calcolare Var [Un] per cn determinato al punto precedente. Stabilire se lo stimatore Un ` e consistente ed asintoticamente normale. (c) Costruire un altro stimatore non distorto Vn diθ, partendo da quello ottenuto col metodo dei momenti. Stabilire se Vn ` e consistente e determinarne la legge asintotica. (d) Stabilire quale tra i due stimatori Un e Vn di θ ` e preferibile e motivare la scelta. (e) Costruire sulla base di Vn un intervallo di confidenza asintotico di livello 1−α per θ. 1 Esercizio 2: Si consideri la seguente funzione: f(x;θ,c ) = 1 θ cos (x θ ) 1(0,c)(x), doveθ e c sono due parametri reali positivi. (a) Calcolare il valore di c affinch´ e la funzionef(x;θ,c ) sia la densit` a di probabilit` a di una variabile aletoria continua per ogni θ> 0. SiaX una variabile aleatoria la cui densit` af(x;θ) ` e quella ottenuta al punto (a), e si consideri il test d’ipotesi H0 : θ≤θ0 vs H1 : θ>θ 0. (b) Calcolare il valore di k affinch´ e la regione criticaR ={X >k} sia di livello α∈ (0, 1). (c) Calcolare la funzione potenza del test ottenuto al punto (b) e si stabilisca se il test ` e non distorto. Si consideri ora…