27062018 MMIS

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 27 Giugno 2018 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1,..,X n un campione casuale d’ampiezza n≥ 1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x;γ,λ ) = λe−λ(x−γ)1(γ,+∞)(x), doveθ e γ sono due parametri reali positivi. (a) Si trovi W statistica sufficiente e minimale per (λ,γ ). (b) Si trovino gli stimatori massima verosimiglianza per ( λ,γ ). Si supponga ora che λ sia noto e pari a λ0. (c) Si trovi l’UMVUE per γ. (d) Si costruisca una quantit` a pivotaleQ per γ. (e) Si costruisca l’intervallo di confidenza per γ, basato su Q, di livello 1 −α e di lunghezza minima. 1 Esercizio 2: I gestori di Trennolandia hanno appena inaugurato un gioco in cui i bambini possono camminare e saltare su una rete sospesa. Due genitori, Anna e Marco, esperti di statistica, si chiedono quale sia il peso X che sta sostenendo la rete. Marco ipotizza che X segua la distribuzione fθ, mentre Anna sostiene la densit` agθ, dove: fθ(x) = 1 2 √ θx 1[0,θ](x), g θ(x) = 1 2 √ θ(θ−x) 1[0,θ](x), doveθ >0 indica la quantit` a massima di sicurezza consentita. Per decidere che modello utilizzare, Anna e Marco assumono θ = 1 e decidono di effettuare il test d’ipotesi H0 : X∼f1(x) vs H 1 : X∼g1(x). (1) (a) Trovare il test UMP per (1) di livello α∈ (0, 1). (b) Calcolare la potenza e stabilire se il test ` e non distorto. (c) Stabilire quale decisione prendere osservando il valore x = 0.94 con α = 0.05. A questo punto, una volta chiamata hθ la famiglia selezionata al punto (c), Anna e Marco vogliono fare inferenza sul parametro θ, ed in…