3 Esercizi su UMVUE

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(ν),ν >0, e sia X1,...,X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. (a) Si calcoli il limite inferiore per la varianza di uno stimatore non distorto di Eν[X] = 1/ν basato sul campione. (b) Si mostri che Xn ` e un UMVUE perEν[X] = 1/ν. (c) A partire dalla statistica min{X1,...,X n} si costruisca un altro stimatore corretto per Eν[X] = 1/ν e se ne calcoli l’errore quadratico medio. (d) Si confrontino i due stimatori. Esercizio 2. Sia X1,...,X n un campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0 ,θ ], θ> 0. (a) Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza di θ e se ne calcoli la distorsione. (b) Si deduca da (a) uno stimatore corretto per θ e se ne calcoli l’errore quadratico medio. (c) La statistica trovata in (b) ` e un UMVUE per θ? (d) Soddisfa la disuguaglianza di Cram´ er-Rao? Esercizio 3. SiaX1,...,X n un campione casuale da una legge normaleN(µ,σ 2) di parametri sconosciuti. Si mostri che gli UMVUE per i seguenti parametri sono proprio gli stimatori indicati in tabella: Parametro UMVUE µ Xn = 1 n n∑ i=1 Xi σ2 S2 n = 1 n− 1 n∑ i=1 (Xi−Xn)2 σ √ n− 1 2 Γ[(n− 1)/2] Γ[n/2] Sn Quantile di ordine α zα √ n− 1 2 Γ[(n− 1)/2] Γ[n/2] Sn +Xn Esercizio 4. Dato un campione casuale X1,...,X n (n≥ 1) estratto da una popolazione B(p),p∈ [0, 1], si trovino gli UMVUE per p e p2. Esercizio 5. Dato un campione casuale X1,...,X n da una distribuzioneN (µ, 1), si vuole stimare τ(µ) = µ2. (a) Trovare Tn stimatore di massima verosimiglianza per µ2. (b) Trovare ˆτn, stimatore corretto a varianza uniformemente minima per µ2. (c) Calcolare la varianza di ˆ τn. (Pu` o essere utile ricordare che il momento…