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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Dato un campione casuale X1,...,X 5 da una legge B(p), con p incognito e 0 ≤ p≤ 1, si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi nulla H0 : p = 1/2 contro l’ipotesi alternativa H1 : p̸= 1/2. Si intende impiegare una regione critica del tipo R = {⏐⏐⏐x5− 1 2 ⏐⏐⏐>c } . (a) Cercare i valori di c che danno un test di dimensione α = 10%. (b) Cercare i valori di c che danno un test di livello α = 10%. Esercizio 2. Un campione di ampiezza 1 ` e estratto da una popolazioneP(λ). Per verificare H0 :λ = 1 controH1 :λ = 2, si consideri la regione critica R ={x> 3}. Si trovino le probabilit` a di errore di primo tipo [0.019] e di secondo tipo [0.86] e la potenza del test [0.14] contro λ = 2. Esercizio 3. Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(ν),ν >0, e sia X1,...,X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare i test di dimensione α basati sul rapporto di verosimiglianza per (a) ν =ν0 controν̸=ν0. (b) ν≤ν0 controν >ν0. [ R ={x≤γα(n,nµ 0)} ] Esercizio 4. Data X∼Bi(n,p ), con n noto e p incognito in [0, 1], (a) si cerchi un test di livelloα basato sul rapporto di verosimiglianza perH0 :p≤p0 controH1 :p>p 0, (b) si scriva esplicitamente la regione di rifiuto nel caso n = 5, p0 = 0.7, α = 0.03. Esercizio 5. Si considerino i due campioni casualiX1,...,X n da una popolazioneN(µ1,σ 2) eY1,...,Y m da una popolazione N(µ2,σ 2), dove i parametriµ1,µ2 eσ2 sono tutti ignoti. Si vole sottoporre a verifica H0 :µ1 =µ2 +δ controH1 :µ1̸=µ2 +δ. (a) Si trovino i test basati sul rapporto di verosimiglianza per queste ipotesi, mostrando che possono essere eseguiti sulla base della statistica T = X−Y−δ√ S2p (1 n + 1 m ), dove S2 p = 1 n +m− 2 ( n∑ i=1 (Xi−X)2 + m∑ i=1 (Yi−Y )2…