6 Esercizi su IC

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(ν),ν >0, e sia X1,...,X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare gli intervalli di confidenza per ν di livello γ = 1−α costruiti sulla base di: (a) test LR per ν =ν0 controν̸=ν0; (b) quantit` a pivotaleQ = 2ν∑n i=1Xi. Esercizio 2. Per un campione di ampiezza 1 dalla legge f(x;θ) = 2 θ2 (θ−x), 0<x<θ, si trovino gli intervalli di confidenza per θ di livello γ = 1−α costruiti tramite: (a) test LR per θ =θ0 controθ̸=θ0; (b) quantit` a pivotaleFθ(X); (c) quantit` a pivotaleX/θ, scegliendo quello del tipo ( x,b (x) ) . Quale intervallo scegliereste per una stima di θ ad un livello γ = 0.95? Esercizio 3. Sia X1,...,X n un campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0 ,θ ], θ > 0. Trovare gli intervalli di confidenza per θ di livello γ = 1−α costruiti tramite: (a) test UMP per θ =θ0 controθ̸=θ0; [ [x(n), α−1/nx(n)) ] (b) quantit` a pivotaleX(n)/θ, scegliendo quello di ampiezza minima. [ (x(n), α−1/nx(n)) ] Esercizio 4. Sia X1,...,X n un campione casuale da una popolazione N(µ,σ 2). Si trovi un intervallo di confidenza per σ2 di livello γ = 1−α nei casi (a) µ noto; (b) µ incognito. Esercizio 5. Si considerino i campioni casuali X1,...,X n da una popolazione N(µ1,σ 2) eY1,...,Y m da una popolazione N(µ2,σ 2). Si trovi un intervallo di confidenza per µ1−µ2 di livello γ = 1−α nei casi (a) σ noto; (b) σ incognito. Esercizio 6. Sia X una singola osservazione da una beta(θ,1), f(x;θ) =θxθ−1I(0,1)(x), θ> 0. (a) Si trovi la legge di Y =− 1 logX e si calcoli il livello di confidenza dell’intervallo (Y 2,Y ) per θ. (b) Si mostri che Xθ ` e una quantit` a pivotale e la si usi per costruire un intervallo…