7 Esercizi su asintotica

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Il tempo di risposta di un calcolatore all’input di un terminale si descrive mediante una variabile aleatoria di legge esponenzialeE(θ), con θ incognito. Si intendono misurare n tempi di risposta T1,...,T n per stimare il tempo atteso di risposta 1 /θ e per stimare il parametro θ. Sia Tn = 1 n ∑n i=1Ti lo stimatore di 1/θ. (a) Mostrare che ` e uno stimatore non distorto. (b) Determinarne la legge. (c) Studiarne asintotica normalit` a, consistenza ed efficienza asintotica. Si consideri ora la stima di θ. (d) Ricavare da 1/Tn uno stimatore non distorto ˆθn di θ. (e) Studiarne asintotica normalit` a, consistenza ed efficienza asintotica. (f) Costruire una regione critica di livello (approssimativamente) α per sottoporre a test H0 : θ = θ0 controH1 :θ̸=θ0. (g) Si deduca da ˆθn una quantit` a asintoticamente pivotale con cui costruire un intervallo di confidenza per θ di livello (approssimativamente) γ. (h) Si trovi una trasformazione g : [0, +∞)→R che stabilizzi la varianza asintotica di g(ˆθn), ovvero tale che la varianza asintotica di g(ˆθn) sia indipendente da θ. (i) Si proponga un intervallo di confidenza per θ di livello (approssimativamente)γ costruito sulla base di g(ˆθn). Si confronti tale intervallo di confidenza con quello ottenuto al punto (g). Esercizio 2. SiaX una variabile aleatoria discreta che pu` o assumere solo i valori -2, 0, 2, rispettivamente con probabilit` a p(−2) = 1 2−θ, p (0) = 2θ, p (2) = 1 2−θ. (a) Per quali θ la funzione p risulta una densit` a? [0≤θ≤ 1/2] (b) Sia X1,...,X n un campione di variabili aleatorie indipendenti con la stessa densit` a p e sia ˆθn lo stimatore di massima verosimiglianza per θ. `E consistente? [s` ı ] Esercizio 3. Sia X1,...,X n un campione casuale da una…