Appello2011settembre14

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 14 Settembre 2011 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f (x; θ) = ( θx + 1 − θ 2 ) I(0,1)(x) dove θ ` e un parametro incognito,θ ∈ [−2, 2]. (a) Si calcolino media e varianza di Xi. (b) Si trovi con il metodo dei momenti uno stimatore Tn per θ. (c) Si stabilisca se Tn ` e non distorto. (d) Si determini la legge asintotica di Tn. (e) Si determini la legge di −2log(Xi) quando θ = 0. (f) Usando il risultato del punto (e) si determini il valore un valore k tale che la regione { n∏ i=1 Xi > k } sia una regione critica di livello α per la verifica delle ipotesi H0 : θ = 0 contro H1 : θ > 0. 1 Esercizio 2 Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f (x; θ) = e −(x−θ)I(θ,+∞)(x) dove θ ` e un parametro incognito. Sia Y = Min{X1, ..., Xn}. (a) Si determini la legge di Y . (b) Si determini la regione critica del test di livello α del rapporto di verosimiglianza basato sull’osservazione Y per la verifica delle ipotesi H0 : θ = θ0 contro l’alternativa H1 : θ ̸= θ0. (c) Si ricavi, utilizzando il risultato del punto (b) un intervallo di confidenza di livello (1 − α) per θ. (d) Si ricavi da Y una quantit` a pivotaleQ per θ. (e) Si calcoli un intervallo di confidenza di livello (1 − α) per θ basato sulla quantit` aQ. (f) Si confrontino gli intervalli trovati ai punti (c) ed (e). 2 Esercizio 3 Il direttore di marketing di una nuova catena di supermercati vuole valutare gli effetti sulle vendite settimanali della dimensione dello spazio di esposizione. Il direttore, dunque, seleziona un campione casuale di n = 12 negozi e ne…