Appello2011settembre23

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 23 Settembre 2011 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Si consideri un campione casuale X1, . . . , Xn di variabili aleatorie di legge F (x, θ) =    0, x ≤ 0( x 36 )1/2θ , 0 ≤ x ≤ 36, 1, x ≥ 36, θ > 0. (a) Verificare se il modello statistico appartiene alla famiglia esponenziale. (b) Determinare una statistica sufficiente, completa e minimale per θ > 0. (c) Trovare lo Stimatore di Massima Verosimigliana ˆθ per θ > 0. (d) Calcolare la legge di ˆθ. (e) Stabilire se lo stimatore ˆθ ` e corretto e ha varianza uniformemente minima. (f) Proporre un intervallo di confidenza di livello γ per θ > 0. 1 Esercizio 2 Si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi H0 che un campione casuale X1, . . . , Xn segua una distribuzione uniforme su [0 , 1] contro l’ipotesi alternativa H1 che la sua distribuzione abbia densit` a f1(x) = { λxλ−1 se 0 < x < 1, 0 altrimenti , con λ parametro maggiore di 1 fissato. (a) Costruire la regione critica di livello 5% di potenza massima nel caso n = 1. (b) Calcolare la potenza del test costruito in (a) per n = 1 nel caso di λ = 4. (c) Determinare la legge di Y1 = − log(X1) sotto l’ipotesi nulla. (d) Costruire la regione critica di livello 5% di potenza massima nel caso n = 400. 2 Esercizio 3 Un recente studio dell’ONU era mirato a quantificare l’esposizione al rischio di infezione da HIV per uno stato dell’Africa centrale. In particolare, lo studio mirava a quantificare l’influenza di alcuni fattori quali sesso, et` a1, livello di urbanizzazione, stato civile ed altri sulla probabilit` a di contrarre l’HIV, espressa in termini di un indice di rischio riportato dalla variabile ( HIVprob). Lo studio…