Appello2012luglio03

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 03 Luglio 2012 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Siano X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Yn due campioni casuali indipendenti da una distribuzione Gaussiana con media nulla e varianza θ dove θ ` e un parametro positivo incognito. (a) Si calcoli e si riconosca la legge di X 2 i + Y 2 i , con i = 1, . . . , n. (b) Si calcoli la legge di Ri = √ X 2 i + Y 2 i che rappresenta la distanza dal centro del punto di coordinate aleatorie ( Xi, Yi). (c) Si supponga di avere a disposizione il campione R1, ..., Rn di tali distanze. Sulla base di questo campione si costruisca lo stimatore ˆθn di massima verosimiglianza per θ e se dimostri che ha legge Γ( n; n/θ). (d) Si stabilisca se ˆθn ` e l’UMVUE perθ. (e) Si stabilisca se la varianza di ˆθn raggiunge il limite inferiore di Cramer-Rao. (f) Si costruisca un intervallo di confidenza per θ di livello (1 − α), basato su un’opportuna quantit` a pivotale Q. 1 Esercizio 2 Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f (x; θ) = ( θ + 1)xθI(0,1)(x) dove θ ` e un parametro positivo incognito, θ ≥ 0 (a) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello α per H0: θ = 0 vs H1: θ = θ1, con θ1 > 0. (b) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello α per H0: θ = 0 vs H1: θ > 0. (c) Si determini la funzione potenza β(θ) per il test costruito al punto (b), e se ne calcoli il limite per θ → ∞. (d) Si dimostri che il test costruito al punto (b) ` e non distorto. (e) Si mostri che la densit` a f (x; θ) appartiene alla famiglia esponenziale. (f) Si determini una statistica sufficiente, minimale e…