Appello2012luglio19

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 19 Luglio 2012 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f (x; θ) = 3 2 √x θ3/2I(0,θ)(x) dove θ ` e un parametro positivo incognito, θ ≥ 0 (a) Trovare ˆθn MLE per θ. (b) Calcolare la legge di ˆθn. (c) Calcolare la distorsione dello stimatore, commentando che tipo di comportamento sistematico si rileva, e proporre uno stimatore non distorto per θ. (d) Costruire un intervallo di confidenza di livello (1 − α) per θ. (e) Dimostrare che ˆθn ` e consistente. 1 Esercizio 2 Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione di densit` a f (x; θ) = 1 θ exp ( x − ex θ ) dove θ ` e un parametro positivo incognito, θ ≥ 0. (a) Trovare una statistica sufficiente, minimale e completa per θ e determinarne la legge. (b) Calcolare lo stimatore MLE di θ nel sottoinsieme ristretto ˜Θ = [ θ0, +∞) con θ0 positivo fissato e noto. (c) Costruire un test, basato sul rapporto di verosimiglianza, di livello α per la verifica delle ipotesi H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ 0, con θ ∈ ˜Θ. (d) Costruire il test UMP di livello α per la verifica delle ipotesi proposte nel punto (c), basato sulla statistica trovata nel punto (a). Confrontare tale test con quello trovato nel punto (c). 2 Esercizio 3 Il dataset “USincome.txt” contiene i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unit` a di misura, per i 50 Stati Americani: State (sigla dello stato); Income (reddito pro-capite in K$ nell’anno 1974); Illiter- acy (proporzione di analfabetismo tra gli abitanti di ciascuno stato nell’anno 1974); HSgrad (% di diplomati nell’anno 1974); Frost (numero di giorni all’anno…