Appello2012settembre25

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 25 Settembre 2012 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1; : : : ; Xn un campione casuale da una distribuzione di densit` a f (x; ) = 2 2 ( 1 x 2 ) 2 1 I(0;2)(x); dove  ` e un parametro positivo incognito,   0. (a) Dimostrare che f (x; ) appartiene alla famiglia esponenziale. (b) Stabilire se T = ∑n i=1 log(1 Xi=2) ` e una statistica sufficiente minimale e completa. (c) Trovare ˆn stimatore ML per . (d) Trovare Wn stimatore ML per () = 1 2 . (e) Riconoscere la legge di Y = log(1 Xi=2) e stabilire se Wn ` e UMVUE per () = 1 2 . (f) Stabilire se Wn ` e consistente per (). 1 Esercizio 2 Sia X1; : : : ; Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f (x; ) = (  + 1)xI(0;1)(x) dove  ` e un parametro positivo incognito,   0 (a) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello per H0:  = 0 vs H1:  = 1, con 1 > 0. (b) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello per H0:  = 0 vs H1:  > 0. (c) Si determini la funzione potenza () per il test costruito al punto (b), e se ne calcoli il limite per  ! 1. (d) Si dimostri che il test costruito al punto (b) ` e non distorto. (e) Si mostri che la densit` a f (x; ) appartiene alla famiglia esponenziale. (f) Si determini una statistica sufficiente, minimale e completa T per . 2 Esercizio 3 Il dataset “USA.txt” contiene anche i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unit` a di misura, per i 50 Stati Americani: LifeExp (aspettativa di vita di ciascuno stato) e Position (variabile categorica, che assegna ogni stato ad un’area geografica: W - west, MW -…