Appello2013febbraio11

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 11 Febbraio 2013 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione di densit` a f (x; θ) = θ (1 + x)(θ+1)I[0,+∞)(x) dove θ ` e un parametro positivo incognito. (a) Si costruisca lo stimatore ˆθn di massima verosimiglianza per θ. (b) Si stabilisca per quali valori del parametro θ ` e possibile costruire lo stimatore ˆθM om n ottenuto con il metodo dei momenti. Per tali valori si costruisca tale stimatore ˆθM om n . (c) Stabilire se ˆθn e ˆθM om n sono consistenti. (d) Basandosi su un campione di ampiezza n = 1 si costruisca il test pi` u potente di livello α per la verifica delle ipotesi H0 : θ = 2 vs H1 : θ = 3. 1 Esercizio 2 Sia ( X1, X2, X3, X4, X5) un campione casuale di dimensione 5 estratto da una popolazione bernoulliana di parametro incognito p ∈ (0, 1). Siano T1 e T2 due stimatori per il parametro incognito p: • T1 = X1 + X2X3 − X4X5 • T2 = X1 + X2 + X3 − X4 − X5 (a) Si calcolino varianza, distorsione ed M SE di entrambi gli stimatori. (b) Si affermi quale dei due stimatori` e migliore. (c) Si stabilisca se T1 ` e l’UMVUE. 2 Esercizio 3 In Finlandia volano due compagnie aeree low-cost: la Easy e la Fin Airlines. Un’azienda vuole minimizzare il tempo speso in volo dai suoi dipendenti scegliendo di volta in volta a quale compagnia appoggiarsi sulla base della lunghezza della tratta. Nei file easy.txt e fin.txt sono riportate per le 17 tratte operate da entrambe le compagnie i tempi di volo relativi ai voli degli ultimi 5 giorni. Assumendo indipendenti le 170 misure raccolte e assumendo per ciascuna compagnia una dipendenza lineare tra la durata media del…