Appello2013luglio16

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 16 Luglio 2013 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione di densit` a f (x; θ) = 3 θ−x log 3I[θ,+∞)(x) dove θ ` e un parametro incognito,θ ∈R. (a) Si calcoli la funzione di ripartizione di Xi. (b) Si mostri che X(1) = Min(X1, ..., Xn) ` e una statistica sufficiente e minimale per θ. (c) Si calcoli la densit` a della statistica X(1). (d) Si mostri che X(1) ` e una statistica completa per θ. (e) Sapendo che E[X(1)] = θ + 1 n log 3 si trovi l’UMVUE per θ. (f) (Facoltativo) Si calcoli lo stimatore ˆθn di massima verosimiglianza per θ. 1 Esercizio 2 Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione di densit` a f (x; θ) = x 2θ2I[0,2θ](x) dove θ ` e un parametro incognito positivo, θ > 0. (a) Si costruisca il Likelihood Ratio Test (LRT) di livello α per le ipotesi H0: θ = θ0 vs H1: θ ̸= θ0. (b) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 1 − α per θ. (c) Si stabilisca se la successione di stimatori X(n)/2 = Max( X1, ..., Xn)/2 ` e consistente perθ 2 Esercizio 3 Il dataset FUEL.txt contiene i valori relativi al consumo di carburante in 50 stati americani pi` u il distretto di Columbia, e permettono di studiare come questo consumo varii a seconda delle caratteristiche dello stato. In particolare, sono fornite le seguenti indicazioni: - FUEL: consumo di carburante per motori, in galloni per persona - POP: popolazione, in migliaia di abitanti - LICENCE: proporzione di patenti nello stato - VEH: macchine, autobus e camion registrati per persona - TAX: tasse statali sul gas, centesimi per gallone - VM: migliaia di miglia di viaggio per veicolo - ID…