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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 02 Luglio 2013 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione geometrica di parametro θ: f (x; θ) = θ(1 − θ)x−1 x = 1 , 2, ... dove θ ` e un parametro incognito,θ ∈ (0, 1). Si ricordi che se X ha distribuzione geometrica di parametro θ, alloraE[X] = 1 θ e Var[X] = 1−θ θ2 . (a) Si mostri che f (x; θ) appartiene alla famiglia esponenziale. (b) Si dimostri che ∑ Xi ` e una statistica sufficiente, minimale e completa per θ. (c) Si costruisca lo stimatore ˆθn di massima verosimiglianza per θ. (d) Si costruisca lo stimatore ˆθM om n ottenuto con il metodo dei momenti per θ. (e) Si stabilisca la legge asintotica di ˆθn. (f) Si costruisca un Intervallo di Confidenza asintotico di livello 1 − α per θ. Si supponga ora di disporre di un campione casuale Y1, . . . , Yn di legge Bernoulli di parametro θ. (g) Si calcoli l’ARE (Efficienza Asintotica relativa) tra lo stimatore di massima verosimiglianza per θ basato sul campione X1, . . . , Xn e quello basato sul campione Y1, . . . , Yn. Si decida quindi quale tra i due stimatori proposti ` e asintoticamente pi` u efficiente. 1 Esercizio 2 Sia X una variabile aleatoria con densit` a f (x; θ) = 2 θxe−θx2 I(0,+∞)(x) dove θ ` e un parametro positivo incognito, θ > 0 (a) Si costruisca, un test UMP di livello α per H0: θ = θ0 vs H1: θ = θ1, con θ1 > θ 0. (Per esplicitare la regione critica pu` o essere utile calcolare e riconoscere la legge di X 2). (b) Si determini la probabilit` a di commettere un errore di II tipo per il test costruito al punto (a), e se ne calcoli il limite per θ1 → ∞. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una…