Esercitazione 5

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 5 15/03/2022 Argomenti: riepilogo sui sistemi lineari, equazioni differenziali ordinarie omogenee lineari del second’ordine. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si consideri la matrice A =   k k − 1 k 0 2 k − 2 0 1 k − 1 2 −k  . 1. Determinare per quali valori dik ∈ R la matriceA è invertibile. Si calcoli la matrice inversaA−1 nel caso k = −1. 2. Sia b ∈ R3. Calcolare il numero di soluzioni del sistema lineareAx = b al variare del parametro realek. 3. Sia k = −1. Verificare che l’unica soluzione del sistemaAx = b è x = A−1b. Per quali altri valori dik vale questa proprietà? Soluzione. 1. Calcolando il determinante diA rispetto alla seconda riga otteniamo detA =k(2k − 2)(1 −k), da cui detA ̸= 0 se e solo sek ̸= 0 ek ̸= 1. Dunque,A è invertibile se e solo sek ̸= 0 ek ̸= 1. Siak = −1 (per cuiA risulta invertibile). Applicando l’algoritmo di Gauss-Jordan, otteniamo A|I3 =   −1 −2 −1 1 0 0 0 −4 0 0 1 0 1 2 3 0 0 1  .   −1 −2 −1 1 0 0 0 −4 0 0 1 0 0 0 2 1 0 1   r3 ← r3 + r1,   −1 −2 −1 1 0 0 0 1 0 0 − 1 4 0 0 0 1 1 2 0 1 2   r2 ← − 1 4 r2, r3 ← 1 2 r3,   1 0 0 − 3 2 1 2 − 1 2 0 1 0 0 − 1 4 0 0 0 1 1 2 0 1 2   r1 ← −(r1 + 2r2 + r3). Da cui, quandok = −1, si ha A−1 =   − 3 2 1 2 − 1 2 0 − 1 4 0 1 2 0 1 2  . 2. Se A è invertibile, allorar(A) = r(A|b) = 3 per ogni b ∈ R3. Questa è una conseguenza immediata del teorema di Kronecker (ovvero: esiste un minore di ordine 3 (il determinante diA) e ogni minore di ordine maggiore di 3 è nullo (non ce ne sono...)). Dal teorema di Rouché-Capelli, dunque, seA è invertibile, ovvero sek ̸= 0, 1, allora esiste una e una sola soluzione per ognib ∈ R3. Passiamo in rassegna i casi k = 0 e k = 1. Sek = 0, la…