Exercise 04

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 4 Variabili aleatorie discrete. Esercizio 1. Si consideri la probabilit` a uniforme nell’intervallo [0, 1] su ( R,B). Qui si definiscano le funzioni X(ω) = 1 [0,p](ω), ω ∈ R, Y (ω) = 1 [0,p](ω) +ω 1 (−∞,0)∪(1,∞)(ω), ω ∈ R, dove 0 < p <1 ` e un parametro fissato. Si ricordi che la notazione 1 A indica la funzione indicatrice dell’insieme A∈B , ossia 1 A(ω) := { 1, ω ∈A, 0, ω /∈A, ω∈ R. (a) Si mostri che X e Y sono variabili aleatorie reali discrete. Si dimostri inoltre che X =Y q.c. (b) Si determinino legge P X, PY e valore atteso E[X], E[Y ]. (c) Si esibisca un’altra variabile aleatoria X′ con la stessa legge di X, ma definita su uno spazio Ω ′ discreto. Esercizio 2. Sia Ω = [0, 1] e si consideri la σ-algebra di BorelA =B([0, 1]). Si definisca P la probabilit` a uniforme su (Ω,A), caratterizzata dalla propriet` a: P ( (a,b ] ) =b−a, per ogni a<b, con a,b∈ [0, 1]. (a) Provare che P ( [a,b ] ) = P ( [a,b ) ) = P ( (a,b ) ) =b−a per ogni a<b , con a,b∈ [0, 1]. (b) Mostrare che P({ω}) = 0 per ogni ω∈ Ω. Si definiscano le seguenti funzioni, per ogni ω∈ Ω X(ω) = 1 [0,p](ω), Y (ω) = 1 (0,p)(ω), Z (ω) = 1 [0,p](ω) + 1 J(ω), dove 0<p< 1 ` e un parametro fissato eJ ={ 1 n}n∈N ={1, 1 2, 1 3,... }. (c) Si mostri che X, Y e Z sono variabili aleatorie reali discrete. Si dimostri inoltre che X = Y = Z q.c. (d) Si determinino legge P X, PY , PZ e valore atteso E[X], E[Y ], E[Z]. Esercizio 3. Si consideri la funzione reale di variabile reale F (x) =    0, x< 0, 1/2, 0≤x< 1, 2/3, 1≤x< 2, 11/12, 2≤x< 3, 1, x ≥ 3. (a) Si mostri che F ` e la funzione di ripartizione di una probabilit` a P su (R,B). (b) Si mostri che P ` e una probabilit` a discreta su (R,B), trovando i punti xk dove P ` e concentrata e le corrispondenti probabilit` apk, o…