Exercise 07

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Probabilit`a 2020/2021 — Esercizi 7 V ettori aleatori continui. Esercizio 1. Si esibisca un esempio di due variabili aleatorie continue X e Y con legge congiunta continua. Si esibisca poi un esempio di due variabili aleatorie continue X e Y con legge congiunta non continua. Esercizio 2*. Si mostri che due variabili aleatorie X eY sono variabili aleatorie continue e indipen- denti se e solo se sono congiuntamente continue con densit `a congiunta fattorizzabile: esistono due funzionih1 : R→ R eh2 : R→ R tali chef(X,Y)(x,y ) =h1(x)h2(y) q.o. Esercizio 3. DateX,Y indipendenti ed entrambe di leggeE(λ),λ> 0, si calcoli P(X>Y ). Esercizio 4. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio con densit`a: f(X,Y)(x,y ) = { x(y −x)e−y, 0<x<y, 0, altrove. (a) Calcolare le leggi di X e diY. (b) X edY sono indipendenti? (c) Calcolare P(X≤ 2,Y ≤ 3). (d) Calcolare il coefficiente di correlazione ρX,Y. (e) Trovare una diversa densit `a congiunta avente le stesse densit`a marginali. Esercizio 5. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio di densit`a f(X,Y)(x,y ) = { xe−(x+y) sex> 0, y> 0 0 altrove (a) Quali sono le leggi di X eY? Le variabili aleatorie X eY sono indipendenti? (b) Calcolare Var (X +Y). (c) Si calcolino i valori attesi di U = min {X,Y } eV = max {X,Y }. Esercizio 6. Il vettore aleatorio(X,Y ) ha legge uniforme sul quadratoQ di vertici (0,2), (2,0), (4,2), (2,4). (a) Qual `e la legge diX? (b) Quanto vale E[X]? (c) Quanto vale P(X<Y )? (d) Quanto vale P(X≤ 2,Y ≤ 1)? (e) X edY sono indipendenti? 1 Esercizio 7. Una misura di resistenza in un circuito elettrico eseguita con uno strumento di risolu- zione pari a 1 ohm d`a una lettura di 12 ohm. La resistenzaR del circuito risulta pertanto descritta da una variabile aleatoria con distribuzione uniforme tra 11.5 e 12.5 ohm. Sia M = 1/R la conduttanza del…