Exercise 08

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Probabilit`a 2020/2021 — Esercizi 8 Funzioni caratteristiche. V ettori casuali Gaussiani. Esercizio 1. SiaϕX la funzione caratteristica di una variabile aleatoria realeX, quindiX ∼ϕX. (a) Si mostri che Y = −X ∼ ϕX (per ogni u∈ R, ϕX(u) `e il complesso coniugato di ϕX(u)). Si mostri anche cheϕX(u) =ϕX(−u). (b) Si mostri che, se le variabili aleatorie X e W sono i.i.d. con funzione caratteristica ϕ, allora X −W ∼ |ϕ|2. Esercizio 2. Dati p∈ [0,1] ed n∈ N, indicata con ϕX la funzione caratteristica di una variabile aleatoriaX, si mostri che: (a) X ∼B(p) ⇐⇒ ϕX(u) =peiu + 1 −p; (b) X ∼B(n,p ) ⇐⇒ ϕX(u) = ( peiu + 1 −p )n . Utilizzare i risultati ottenuti per mostrare che: (c) X1,...,X n i.i.d.B(p) =⇒ X1 +··· +Xn ∼B(n,p ); (d) X ∼B(n,p ) indipendente daY ∼B(m,p ) =⇒ X +Y ∼B(n +m,p ). Esercizio 3. Data una variabile aleatoria realeX, si mostri che X ∼G(p),p ∈ (0,1) ⇐⇒ ϕX(u) = peiu 1 − eiu(1 −p). Esercizio 4. Data una variabile aleatoria realeX, si mostri che (a) X ∼U([−a,a ]) ⇐⇒ ϕX(u) = sin(au) au ; (b) X ∼U([a,b ]) ⇐⇒ ϕX(u) = eia+b 2 u sin (b−a 2 u ) b−a 2 u ; (c) X ∼E(λ) ⇐⇒ ϕX(u) = λ λ − iu; (d) X tale che −X ∼E(λ) ⇐⇒ ϕX(u) = λ λ + iu. Si calcolino valore atteso e varianza di queste variabili aleatorie a partire dalle loro funzioni caratte- ristiche. Esercizio 5. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio uniformemente distribuito sul rettangolo R = {0≤x≤ 2, 0≤y≤ 1}. (a) Si scriva la densit`a continua di(X,Y ), diX e diY. Le variabili aleatorieX eY sono indipendenti? (b) Si calcolino valore atteso e matrice varianza di (X,Y ). (c) Si esprima la funzione caratteristica di (X,Y ) in termini delle funzioni caratteristiche di X e di Y. Si trovi quindi la funzione caratteristica di (X,Y ). 1 Siano oraZ = 2X −Y,W =Y − 2 eJ = −X. (d) Il vettore aleatorio (Z,W,J ) ammette densit`a continua? (e)…