Exercise 08

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 8 Funzioni caratteristiche. Vettori gaussiani. Esercizio 1. Sia ϕX la funzione caratteristica di una variabile aleatoria reale X, quindi X∼ϕX. (a) Si mostri che Y =−X∼ϕX (per ogni u∈ R,ϕX(u) ` e il complesso coniugato diϕX(u)). Si mostri anche che ϕX(u) =ϕX(−u). (b) Si mostri che, se le variabili aleatorie X e W sono i.i.d. con funzione caratteristica ϕ, allora X−W∼|ϕ|2. Esercizio 2. Datip∈ [0, 1] edn∈ N, indicata conϕX la funzione caratteristica di una variabile aleatoria X, si mostri che: (a) X∼B(p) ⇐⇒ ϕX(u) =p eiu + 1−p; (b) X∼B(n,p ) ⇐⇒ ϕX(u) = ( p eiu + 1−p )n . Utilizzare i risultati ottenuti per mostrare che: (c) X1,...,X n i.i.d. B(p) =⇒ X1 +··· +Xn∼B(n,p ); (d) X∼B(n,p ) indipendente da Y ∼B(m,p ) =⇒ X +Y ∼B(n +m,p ). Esercizio 3. Data una variabile aleatoria reale X, si mostri che X∼G(p), p∈ (0, 1) ⇐⇒ ϕX(u) = p eiu 1− eiu(1−p). Esercizio 4. Data una variabile aleatoria reale X, si mostri che (a) X∼U([−a,a ]) ⇐⇒ ϕX(u) = sin(au) au ; (b) X∼U([a,b ]) ⇐⇒ ϕX(u) = eia+b 2 u sin (b−a 2 u ) b−a 2 u ; (c) X∼E (λ) ⇐⇒ ϕX(u) = λ λ− iu; (d) X tale che−X∼E (λ) ⇐⇒ ϕX(u) = λ λ + iu. Si calcolino valore atteso e varianza di queste variabili aleatorie a partire dalle loro funzioni caratteristiche. Esercizio 5. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio uniformemente distribuito sul rettangolo R ={0≤ x≤ 2, 0≤y≤ 1}. (a) Si scriva la densit` a continua di (X,Y ), diX e diY . Le variabili aleatorie X eY sono indipendenti? (b) Si calcolino valore atteso e matrice varianza di ( X,Y ). (c) Si esprima la funzione caratteristica di ( X,Y ) in termini delle funzioni caratteristiche di X e di Y . Si trovi quindi la funzione caratteristica di ( X,Y ). Siano ora Z = 2X−Y , W =Y− 2 e J =−X. 1 (d) Il vettore aleatorio ( Z,W,J ) ammette densit` a continua? (e) Si…