Exercise 09

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 9 Leggi condizionali. Esercizio 1. La legge congiunta delle variabili aleatorie discrete X e Y ` e parzialmente descritta da: X\Y 0 1 2 pX 2 0.1 4 0.1 0.6 pY 0.3 0.4 1 (a) Completare la tabella e dire se X e Y sono indipendenti. (b) Determinare la legge condizionale di Y dato X = 2. Calcolare E[Y|X = 2], E[Y 2|X = 2] e Var(Y|X = 2). (c) Determinare E[Y|X]. Calcolare E[E[Y|X]], E[E[Y|X]2] e Var(E[Y|X]). (d) Determinare E[Y 2|X]. (e) Determinare Var(Y|X). Calcolare E[Var(Y|X)], E[Var(Y|X)2] e Var(Var(Y|X)). Esercizio 2. Un perito elettrotecnico deve costruire un sistema costituito da tre componenti in serie. Egli pesca i tre componenti da una scatola in cui vi sono tre componenti nuove, due usate ma funzionanti e due difettose. Siano X e Y rispettivamente il numero di componenti nuove e di componenti usate ma funzionanti tra quelle pescate dalla scatola. In un precedente esercizio ` e stata calcolata la densit` a discreta conginuta del vettore (X,Y ) e la densit` a discreta della variabile aleatoriaX +Y . (a) Scrivere la densit` a discreta condizionale diX dato Y = 0. Calcolare E[X|Y = 0]. (b) Determinare E[X|Y ]. (c) Quali sono la legge e l’attesa condizionali del numero di componenti nuove pescate, sapendo che il numero di componenti funzionanti pescati ` e pari a 1? (d) Determinare l’attesa condizionale del numero di componenti nuove pescate, dato il numero di componenti funzionanti pescati. Esercizio 3. SianoX,Y i.i.d. ∼ B(p), p∈ (0, 1). Definiamo la variabile aleatoriaZ = 1 {X+Y =0}, indicatrice dell’evento{X +Y = 0}. (a) Determinare E[X|Z] e E[Y|Z]. (b) E[X|Z] e E[Y|Z] sono indipendenti? Esercizio 4. Siano X1,...,X n i.i.d. ∼ B(p), p∈ (0, 1). Sia Z =∑n k=1Xk. (a) Calcolare E[X1|Z] e E[X2|Z]. Sia ora Y =X1 +X2−X1X2. (b) Determinare…