Exercise 10

Page 1

Probabilit`a 2020/2021 — Esercizi 10 Convergenza di variabili aleatorie. Esercizio 1 (Macchina da scrivere ). Si rappresenti ogni intero n ∈ N come n = 2k +ℓ, con k = 0,1,2,... e ℓ = 0,..., 2k − 1. La rappresentazione `e unica. Si consideri quindi come spazio di probabilit`a l’intervallo [0,1] con σ-algebra dei boreliani e misura di Lebesgue, su cui `e definita la successione (Xn)n∈N, dove: Xn(ω) =X2k+ℓ(ω) = 1 [ ℓ 2k, ℓ+1 2k ](ω), per ogniω∈ [0,1]. (a) Disegnare il grafico delle prime Xn e calcolarne la legge. (b) Calcolare liminf Xn e limsupXn e studiare la convergenza quasi certa della successione. (c) Mostrare che Xn→ 0 in Lp per ognip≥ 1, in probabilit`a e in legge. (d) Trovare una sottosuccessione di Xn convergente a 0 quasi certamente. Esercizio 2. Si consideri lo spazio di probabilit`a (Ω,A, P) con • Ω = (0,1). • A =B ( (0,1) ) , laσ-algebra di Borel su (0,1). • P = m0,1, la misura di Lebesgue su (0,1). Per ogni n∈ N si considerino le funzioni Xn,Yn,Zn :Ω→ R definite per ogni ω∈Ω = (0,1) come segue Xn(ω) = 1 nω, Y n(ω) = 1√ω + 1 n , Z n(ω) = n n + 1 log 1 ω. Studiare la convergenza quasi certa della successioni (Xn)n∈N, (Yn)n∈N, (Zn)n∈N. Determinare, inol- tre, la legge delle variabili aleatorie limite. Esercizio 3. Data una successione di variabili aleatorie (Xn)n∈N, tutte definite sul medesimo spazio di probabilit`a e conXn∈ L2, E[Xn] =an→a∈ R e Var(Xn) =σ2 n→ 0, si mostri che: (a) E[X2 n]→a2. (b) Xn→a in legge, probabilit`a, L1 e L2. Esercizio 4. Su uno stesso spazio di probabilit `a sia data una successione di variabili aleatorie (Xn)n∈N, tutte aventi legge uniforme su [0,1]. Fissato un parametro α> 0, definiamo Yn = 1 n2 1 (1 −Xn)α. (a) Per quali α si haYn→ 0 in probabilit`a? (b) Per quali α si haYn∈ L1 ? (c) Per quali α si haYn→ 0 in L1 ? 1 Esercizio 5. Data…