Exercise Integrali Doppi

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi Integrali Doppi Esercizio 1 . Calcolare ∫ S xy dx dy dove (a) S = { 0<x< 1, x2≤y≤√x } , (b) S = { 0<x< 1, y=√x } . Esercizio 2 . Calcolare ∫ S xey dx dy doveS = { 0<x ≤ 1, 0<y < √ 1−x2} . Esercizio 3 . Calcolare ∫ S y x dx dy doveS = { x≥ 1, 0≤y≤ 1 x } . Esercizio 4 . Indicato con S il quadrato [0, 1]2, confrontare forma e area di h(S), dove (a) h(x,y ) = (x + 1,x +y), (b) h(x,y ) = (x + 1,x +y−xy +x2y). Esercizio 5 . Disegnare e calcolare l’area di S = { 0<x<y < 2x, 1<xy < 2 } . Esercizio 6 . Disegnare un grafico qualitativo di f : R2→ R, f(x,y ) = e−x2−y2 . Calcolare quindi ∫ S e−x2−y2 dx dy per (a) S = { y =x2} , (b) S = { x2 +y2 < 1 } . Esercizio 7 . Mediante gli integrali doppi generalizzati si calcoli ∫ +∞ −∞ e−x2 dx. Esercizio 8 . Si consideri la famiglia di funzioni f : R2→ R, f(x,y|a,b ) =ae−b(x2+y2), dove (a,b )∈ R2 ` e un parametro bidimensionale. (a) Trovare i valori di (a,b ) per cui ∫ R2 f(x,y|a,b ) dx dy = 1. (b) Per i valori di ( a,b ) trovati al punto (a) e per 0 <α< 1 si trovi rα tale che ∫ {x2+y2>r2α} f(x,y|a,b ) dx dy =α. 1 Probabilit`a 2018/2019 - Risultati Integrali Doppi Esercizio 1 . (a) 1/12, (b) 0. Esercizio 2 . 1/2 Esercizio 3 . 1/4 Esercizio 4 . (a) 1, (b) 5/6. Esercizio 5 . log √ 2 Esercizio 6 . (a) 0, (b) π ( 1− 1 e ) . Esercizio 7 .√π Esercizio 8 . (a) (a,b ) = ( b/π,b ), con b > 0. Tale insieme pu` o anche essere scritto nel modo seguente: ( a,b ) = (1/(2πσ 2), 1/(2σ2)), con σ >0. (b) σ √ log(1/α2). 2