Pre Appello 2023

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Segnali per le comunicazioni – PRE-Appello del 6/6/2023 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ sin(𝜋𝐵𝑡) A ) Si traccino i grafici di modulo e fase di 𝑋(𝑓) B ) Si trovi l'espressione della seguente convoluzione: 𝑦(𝑡)=𝑥(𝑡)∗ୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ . C ) Si tracci il grafico della parte immaginaria di 𝑍(𝑓), trasformata di Fourier del segnale 𝑧(𝑡)=𝑥(𝑡)∙ ୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ , moltiplicazione di 𝑥(𝑡) con ୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ . Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)= ୱ୧୬ቀഏ೟ మ ቁ గ௧ + cos൫16𝜋(𝑡−𝜏)൯ con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 3. A ) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier in frequenza normalizzata del segnale 𝑥௡. B ) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥ோ(𝑡) tempo continuo ricostruito dai campioni di 𝑥௡. C ) Si trovi l'espressione della DFT dei primi 16 campioni di 𝑦௡ =𝑥ோ(2𝑛) Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥(𝑡) stazionario con densità di probabilità delle ampiezze gaussiana e autocorrelazione 𝑅௫(𝜏)= 5ቂୱ୧୬(ଶగఛ) గఛ ቃ ଶ + 4. Il processo 𝑥(𝑡) viene campionato con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 4 ottenendo il processo casuale discreto 𝑥௡. A ) Si trovi l’espressione dell’autocorrelazione del processo casuale 𝑦௡ =𝑥ଶ௡ B ) Si trovi l’espressione della densità spettrale di potenza del processo casuale 𝑧௡ =𝑥ଶ௡ −𝑥ଶ௡ାଶ C ) Si trovi l’espressione della densità di probabilità delle ampiezze di 𝑧௡ e si dica, motivando la risposta, se la varianza di |𝑧௡| è uguale, maggiore o minore di quella di 𝑧௡ Soluzione Esercizio 1 del 6/6/2023 A) 𝑋(𝑓)= −௝ ଶ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ −ଵ ଶቁ+௝ ଶ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ +ଵ ଶቁ B) 𝑌(𝑓) =𝑋(𝑓)𝐻(𝑓)=𝑋(𝑓)∙𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ቁ da cui 𝑦(𝑡) = ୱ୧୬ቀగಳ మ௧ቁ గ௧ sinቀ𝜋஻ ଶ 𝑡ቁ C) 𝑍(𝑓)=𝑋(𝑓)∗𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ቁ Il modo più veloce di tracciare il grafico della parte immaginaria di 𝑍(𝑓) è quello di sfruttare la proprietà distributiva della…