110915

Page 1

Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 15/9/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la casella in caso di corso da 5 crediti: 2 I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. Sia f(x), x∈ R la funzione densit` a di una probabilit` aµ sulla retta reale, e sia g(x) = 1 2f(x) + 1 2f(−x), x ∈ R. (1) (a) Mostrare che g ` e anch’essa funzione densit` a di una probabilit` aν. (b) Esprimere la funzione caratteristica di ν mediante la funzione caratteristica di µ. Sia ora fλ(x) = 1(0,∞)(x)λe−λx, sicch´ e la corrispondente probabilit` aµλ ` e la legge espo- nenziale di parametro λ> 0. (c) Scrivere la densit` agλ associata a fλ mediante la formula (1), e disegnarne un grafico. (d) Calcolare la funzione caratteristica della probabilit` aνλ che ammette densit` agλ. (e) Calcolare media e varianza di µλ. Soluzione. (a) g ` e nonnegativa e ∫ Rg(x)dx = 1. (b) ˆν(u) = 1 2 ∫ Rf(x)eiuxdx + 1 2 ∫ Rf(−x)eiuxdx = 1 2 ∫ Rf(x)eiuxdx + 1 2 ∫ Rf(x)e−iuxdx = 1 2 ˆµ(u) + 1 2 ˆµ(−u). (c) gλ(x) = λ 2e−λ|x|, detta densit` a di Laplace di parametroλ. (d) Usando la formula del punto (b) e il fatto che ˆµλ(u) =λ/(λ−iu) risulta ˆνλ(u) = λ2 λ2 +u2. (e) La media ` e nulla per la simmetria digλ. La varianza si pu` o calcolare mediante la densit` a oppure derivando la funzione caratteristica: si trova ˆν′′ λ(u) = −2λ2 (λ2 +u2)2 + 8u2λ2 (λ2 +u2)3, da cui ˆν′′ λ(0) =−2/λ2 e il valore della varianza pari a 2/λ2. 1 2. Sul mercato di Helda sono presenti 100 diversi titoli azionari e, indicato con Xk il valore fra un mese di un 1 eldo (valuta di Helda) investito nel titolo k, le variabili Xk risultano esponenziali indipendenti di valore atteso 1. Lara intende investire in azioni N eldi e vuole confrontare due…